Planejamento e Análise de Experimentos I

Author

Affiliation

Universidade Federal de Mato Grosso

Bacharelado em Estatística - UFMT

Delineamento em Blocos Casualizados (DBC) e Delineamento em Quadrado Latino (DQL)

O problema central de DBC e DQL é o controle local. Em experimentos reais, as unidades experimentais raramente são homogêneas. Em campo agrícola, pode haver gradiente de fertilidade, umidade, inclinação ou luminosidade. Em experimentos com animais, pode haver diferenças de idade, peso, sexo, condição fisiológica, leitegada, baia ou período. Se essa heterogeneidade não for controlada, parte da variação ambiental entra no erro experimental e aumenta o quadrado médio do resíduo.

Os três princípios básicos envolvidos são:

Repetição: permite estimar a variabilidade experimental.
Casualização: protege contra vieses sistemáticos de alocação.
Controle local: agrupa unidades semelhantes em blocos ou controla fontes conhecidas de variação.

A ideia matemática é retirar do resíduo uma fonte sistemática de variação que não interessa diretamente ao pesquisador. Assim, se a blocagem for eficiente, o erro experimental diminui e o teste para tratamentos ganha precisão. O custo é a perda de graus de liberdade do resíduo, pois blocos, linhas e colunas também entram como fontes de variação na ANOVA.

Do ponto de vista de planejamento experimental, a decisão mais importante é reconhecer se a heterogeneidade é:

ausente ou desprezível: pode-se usar delineamento inteiramente casualizado;
dominante em uma direção ou fator: o DBC costuma ser adequado;
dominante em duas direções ou fatores cruzados: o DQL pode ser adequado, desde que suas restrições sejam viáveis.

O pesquisador deve lembrar que a casualização não corrige um delineamento mal escolhido. A aleatorização protege contra vieses de alocação, mas o controle local precisa ser coerente com a estrutura real da variabilidade.

Delineamento em Blocos Casualizados (DBC)

O DBC, também chamado de delineamento em blocos ao acaso ou blocos completos casualizados, é usado quando existe uma fonte principal de heterogeneidade a controlar. Cada bloco deve ser internamente homogêneo e deve conter todos os tratamentos.

Se há \(I\) tratamentos e \(J\) blocos, o número total de observações é:

\[ N = IJ \]

Cada tratamento aparece uma vez em cada bloco no DBC completo sem repetição intra-bloco.

Modelo linear aditivo

\[ Y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}, \qquad i = 1,\ldots,I,\quad j = 1,\ldots,J \]

em que:

\(Y_{ij}\) é a resposta do tratamento \(i\) no bloco \(j\);
\(\mu\) é a média geral;
\(\tau_i\) é o efeito do tratamento \(i\);
\(\beta_j\) é o efeito do bloco \(j\);
\(\varepsilon_{ij}\) é o erro aleatório.

Usualmente impõem-se as restrições:

\[ \sum_{i=1}^{J}\tau_i = 0, \qquad \sum_{j=1}^{J}\beta_j = 0. \]

Os pressupostos clássicos são:

\[ \varepsilon_{ij} \overset{iid}{\sim} N(0,\sigma^2), \]

com independência, normalidade, homogeneidade de variâncias e aditividade. A aditividade significa que não há interação tratamento-bloco no modelo. Como há apenas uma observação por combinação tratamento-bloco, uma interação real não pode ser estimada separadamente e tende a contaminar o resíduo.

Decomposição da soma de quadrados

Defina:

\[ G = \sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}Y_{ij}, \qquad C = \frac{G^2}{IJ}, \]

\[ T_i = \sum_{j=1}^{J}Y_{ij}, \qquad B_j = \sum_{i=1}^{I}Y_{ij}. \]

A soma de quadrados total é:

\[ SQ_{Total} = \sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}Y_{ij}^2 - C. \]

A soma de quadrados de tratamentos é:

\[ SQ_{Trat} = \frac{1}{J}\sum_{i=1}^{I}T_i^2 - C. \]

A soma de quadrados de blocos é:

\[ SQ_{Blocos} = \frac{1}{I}\sum_{j=1}^{J}B_j^2 - C. \]

A soma de quadrados do resíduo é obtida por diferença:

\[ SQ_E = SQ_{Total} - SQ_{Trat} - SQ_{Blocos}. \]

A identidade por médias mostra o porquê da decomposição:

\[ Y_{ij}-\bar{Y}_{..} = (\bar{Y}_{i.}-\bar{Y}_{..}) + (\bar{Y}_{.j}-\bar{Y}_{..}) + (Y_{ij}-\bar{Y}_{i.}-\bar{Y}_{.j}+\bar{Y}_{..}). \]

Em delineamento balanceado, os três componentes são ortogonais, permitindo separar tratamento, bloco e erro.

Tabela ANOVA do DBC

Fonte de variação	GL	SQ	QM	F
Tratamentos	\(I-1\)	\(SQ_{Trat}\)	\(QM_{Trat}=\dfrac{SQ_{Trat}}{I-1}\)	\(\dfrac{QM_{Trat}}{QM_E}\)
Blocos	\(J-1\)	\(SQ_{Blocos}\)	\(QM_{Blocos}=\dfrac{SQ_{Blocos}}{J-1}\)	\(\dfrac{QM_{Blocos}}{QM_E}\)
Erro	\((I-1)(J-1)\)	\(SQ_E\)	\(QM_E=\dfrac{SQ_E}{(I-1)(J-1)}\)
Total	\(IJ-1\)	\(SQ_{Total}\)

O teste principal é:

\[ H_0:\tau_1=\tau_2=\cdots=\tau_I=0 \]

contra

\[ H_1:\text{pelo menos um efeito de tratamento difere de zero.} \]

Rejeita-se \(H_0\) se:

\[ F_{calc} = \frac{QM_{Trat}}{QM_E} > F_{1-\alpha;\,I-1,\,(I-1)(J-1)}. \]

Planejamento prático do DBC

No DBC, a qualidade estatística do experimento depende da qualidade dos blocos. Um bloco deve ser formado por unidades experimentais que sejam tão semelhantes quanto possível quanto à fonte de variação que se deseja controlar. Entre blocos, pode haver grande heterogeneidade; dentro de blocos, não.

Exemplos de variáveis usadas para formar blocos:

fertilidade do solo;
declividade;
umidade;
distância a uma bordadura;
idade de animais;
peso inicial;
leitegada;
lote de matéria-prima;
dia de execução;
operador;
laboratório;
avaliador;
período de medição.

A pergunta operacional é:

\[ \text{Dentro de cada bloco, consigo comparar todos os tratamentos em condições semelhantes?} \]

Se a resposta for sim, o DBC é uma boa opção. Se o bloco não comporta todos os tratamentos, o delineamento passa a ser de blocos incompletos, que exige outra análise. Se há duas fontes cruzadas de variação igualmente importantes, o DQL pode ser mais apropriado.

Aleatorização dos tratamentos no DBC

No DBC completo, a aleatorização é feita separadamente dentro de cada bloco. Essa é uma restrição deliberada: não se sorteiam todos os tratamentos em todas as parcelas do experimento como se fosse DIC; sorteia-se uma permutação dos tratamentos para cada bloco.

Procedimento manual:

Defina os tratamentos: por exemplo, \(A\), \(B\), \(C\), \(D\).
Defina os blocos: por exemplo, \(B_1,\ldots,B_6\).
Em cada bloco, numere as parcelas de \(1\) a \(a\).
Para o bloco \(B_1\), sorteie uma ordem aleatória dos \(a\) tratamentos.
Repita o sorteio de forma independente para \(B_2,\ldots,B_b\).
Registre o croqui antes da instalação do experimento.

Com \(a\) tratamentos, há \(a!\) possíveis ordens dentro de cada bloco. Com \(b\) blocos, se os sorteios forem independentes, há:

\[ (a!)^b \]

possíveis alocações no DBC completo.

Exemplo de uma aleatorização possível para \(4\) tratamentos e \(6\) blocos:

Bloco	Parcela 1	Parcela 2	Parcela 3	Parcela 4
1	A	D	C	B
2	A	C	D	B
3	D	A	C	B
4	B	D	C	A
5	C	A	B	D
6	D	B	C	A

Esse croqui preserva a exigência fundamental: em cada bloco, todos os tratamentos aparecem uma vez.

Código R para gerar uma casualização DBC:

set.seed(2026)

tratamentos <- LETTERS[1:4]
n_blocos <- 6

random_dbc <- do.call(
  rbind,
  lapply(seq_len(n_blocos), function(j) {
    data.frame(
      bloco = paste0("Bloco_", j),
      parcela_no_bloco = seq_along(tratamentos),
      tratamento = sample(tratamentos)
    )
  })
)

random_dbc

     bloco parcela_no_bloco tratamento
1  Bloco_1                1          A
2  Bloco_1                2          D
3  Bloco_1                3          C
4  Bloco_1                4          B
5  Bloco_2                1          A
6  Bloco_2                2          C
7  Bloco_2                3          D
8  Bloco_2                4          B
9  Bloco_3                1          D
10 Bloco_3                2          A
11 Bloco_3                3          C
12 Bloco_3                4          B
13 Bloco_4                1          B
14 Bloco_4                2          D
15 Bloco_4                3          C
16 Bloco_4                4          A
17 Bloco_5                1          C
18 Bloco_5                2          A
19 Bloco_5                3          B
20 Bloco_5                4          D
21 Bloco_6                1          D
22 Bloco_6                2          B
23 Bloco_6                3          C
24 Bloco_6                4          A

Para formar um croqui no formato de matriz, útil em campo:

matrix(
  random_dbc$tratamento,
  nrow = n_blocos,
  byrow = TRUE,
  dimnames = list(paste0("Bloco_", 1:n_blocos), paste0("Parcela_", 1:4))
)

        Parcela_1 Parcela_2 Parcela_3 Parcela_4
Bloco_1 "A"       "D"       "C"       "B"      
Bloco_2 "A"       "C"       "D"       "B"      
Bloco_3 "D"       "A"       "C"       "B"      
Bloco_4 "B"       "D"       "C"       "A"      
Bloco_5 "C"       "A"       "B"       "D"      
Bloco_6 "D"       "B"       "C"       "A"

Erros comuns no DBC

Formar blocos grandes demais, tornando as parcelas internas heterogêneas.
Confundir bloco com repetição quando há mais de uma repetição de tratamento dentro de bloco.
Sortear tratamentos uma única vez e repetir a mesma ordem em todos os blocos sem justificativa operacional.
Usar blocos para controlar uma característica que não está relacionada à resposta.
Ignorar a estrutura de blocos na análise, ajustando um modelo como se os dados fossem inteiramente casualizados.
Usar muitos tratamentos em cada bloco quando a homogeneidade dentro do bloco deixa de ser plausível.

Diagnóstico após a ANOVA no DBC

Após ajustar o modelo, não basta olhar o valor de \(F\). É necessário verificar:

resíduos versus valores ajustados, para avaliar homogeneidade de variância;
gráfico quantil-quantil dos resíduos, para avaliar normalidade aproximada;
resíduos por bloco, para detectar blocos problemáticos;
resíduos por tratamento, para detectar tratamentos com variância discrepante;
coerência agronômica, biológica ou operacional dos efeitos estimados.

Em R:

# Usando um objeto ajustado por aov, por exemplo: modelo_dbc
# par(mfrow = c(2, 2))
# plot(modelo_dbc)

O diagnóstico gráfico não substitui o conhecimento experimental. Um resíduo extremo deve ser investigado no caderno de campo, nos registros laboratoriais ou nos metadados de coleta.

Delineamento em Quadrado Latino (DQL)

O DQL é usado quando existem duas fontes de heterogeneidade a controlar. Essas fontes são representadas por linhas e colunas. Cada tratamento aparece exatamente uma vez em cada linha e exatamente uma vez em cada coluna.

Se há \(p\) tratamentos, o quadrado latino tem:

\[ p \text{ linhas},\quad p \text{ colunas},\quad p \text{ tratamentos},\quad p^2 \text{ observações}. \]

Cada tratamento é repetido \(p\) vezes.

Modelo linear aditivo

\[ Y_{ijk} = \mu + \rho_i + \kappa_j + \tau_k + \varepsilon_{ijk}, \]

em que:

\(\rho_i\) é o efeito da linha \(i\);
\(\kappa_j\) é o efeito da coluna \(j\);
\(\tau_k\) é o efeito do tratamento \(k\);
\(Y_{ijk}\) é a observação na linha \(i\), coluna \(j\), recebendo tratamento \(k\).

Como cada célula recebe apenas um tratamento, dois índices localizam a observação; o terceiro é determinado pelo arranjo latino.

As restrições usuais são:

\[ \sum_{i=1}^{p}\rho_i=0, \qquad \sum_{j=1}^{p}\kappa_j=0, \qquad \sum_{k=1}^{p}\tau_k=0. \]

Os pressupostos são:

\[ \varepsilon_{ijk}\overset{iid}{\sim}N(0,\sigma^2), \]

com independência, normalidade, homogeneidade de variâncias e aditividade. No DQL, a aditividade é ainda mais crítica, pois não há graus de liberdade para estimar interações linha-tratamento, coluna-tratamento ou linha-coluna de forma ordinária.

Somas de quadrados

Defina:

\[ G = \sum Y_{ijk}, \qquad C = \frac{G^2}{p^2}. \]

Sejam \(L_i\), \(C_j\) e \(T_k\) os totais de linhas, colunas e tratamentos, respectivamente. Então:

\[ SQ_{Total} = \sum Y_{ijk}^2 - C, \]

\[ SQ_{Linhas} = \frac{1}{p}\sum_{i=1}^{p}L_i^2 - C, \]

\[ SQ_{Colunas} = \frac{1}{p}\sum_{j=1}^{p}C_j^2 - C, \]

\[ SQ_{Trat} = \frac{1}{p}\sum_{k=1}^{p}T_k^2 - C, \]

\[ SQ_E = SQ_{Total} - SQ_{Linhas} - SQ_{Colunas} - SQ_{Trat}. \]

O resíduo estimado por célula é:

\[ e_{ijk} = Y_{ijk} -\bar{Y}_{i..} -\bar{Y}_{.j.} -\bar{Y}_{..k} +2\bar{Y}_{...}. \]

Tabela ANOVA do DQL

Fonte de variação	GL	SQ	QM	F
Linhas	\(p-1\)	\(SQ_{Linhas}\)	\(QM_L=\dfrac{SQ_{Linhas}}{p-1}\)	\(\dfrac{QM_L}{QM_E}\)
Colunas	\(p-1\)	\(SQ_{Colunas}\)	\(QM_C=\dfrac{SQ_{Colunas}}{p-1}\)	\(\dfrac{QM_C}{QM_E}\)
Tratamentos	\(p-1\)	\(SQ_{Trat}\)	\(QM_T=\dfrac{SQ_{Trat}}{p-1}\)	\(\dfrac{QM_T}{QM_E}\)
Erro	\((p-1)(p-2)\)	\(SQ_E\)	\(QM_E=\dfrac{SQ_E}{(p-1)(p-2)}\)
Total	\(p^2-1\)	\(SQ_{Total}\)

A hipótese principal é:

\[ H_0:\tau_1=\tau_2=\cdots=\tau_p=0. \]

Rejeita-se \(H_0\) se:

\[ F_{calc} = \frac{QM_T}{QM_E} > F_{1-\alpha;\,p-1,\,(p-1)(p-2)}. \]

O DQL deve ser usado com cautela quando \(p\) é pequeno:

Ordem do QL	GL do erro
\(3\times3\)	2
\(4\times4\)	6
\(5\times5\)	12
\(6\times6\)	20

Por isso, materiais da pasta recomendam atenção especial a QL \(3\times3\) e \(4\times4\), com alternativas como replicar quadrados latinos ou usar arranjos maiores quando possível.

Planejamento prático do DQL

O DQL é apropriado quando a unidade experimental pode ser classificada simultaneamente por dois critérios de controle local. Exemplos:

linha = animal, coluna = período;
linha = operador, coluna = máquina;
linha = lote de matéria-prima, coluna = operador;
linha = faixa de fertilidade norte-sul, coluna = faixa de fertilidade leste-oeste;
linha = provador, coluna = ordem de degustação;
linha = sala, coluna = horário;
linha = paciente, coluna = período terapêutico, quando houver resposta reversível e período de lavagem adequado.

A exigência estrutural é forte:

\[ \#\text{linhas} = \#\text{colunas} = \#\text{tratamentos} = p. \]

Além disso:

\[ \text{cada tratamento aparece uma vez em cada linha e uma vez em cada coluna.} \]

Essa propriedade é o que torna tratamentos ortogonais às duas fontes de controle local. Se o pesquisador quebrar essa regra, o delineamento deixa de ser um quadrado latino e a ANOVA clássica não se aplica.

Aleatorização dos tratamentos no DQL

No DQL, a casualização não é uma permutação livre das \(p^2\) parcelas. Uma permutação livre poderia colocar o mesmo tratamento duas vezes em uma linha ou coluna. A aleatorização deve preservar a restrição latina.

Um procedimento prático é:

Escolha um quadrado latino padrão de ordem \(p\).
Sorteie aleatoriamente a ordem das linhas.
Sorteie aleatoriamente a ordem das colunas.
Sorteie aleatoriamente a correspondência entre letras e tratamentos reais.
Se houver múltiplos quadrados latinos, sorteie também a ordem ou a estrutura dos quadrados usados.
Execute as observações em ordem operacionalmente viável, evitando introduzir confundimento adicional com horário, operador ou sequência de coleta.

Exemplo de quadrado latino padrão \(5\times5\):

Linha/Coluna	C1	C2	C3	C4	C5
L1	A	B	C	D	E
L2	B	C	D	E	A
L3	C	D	E	A	B
L4	D	E	A	B	C
L5	E	A	B	C	D

Após aleatorizar linhas, colunas e rótulos de tratamentos, uma possibilidade é:

Linha/Coluna	C1	C2	C3	C4	C5
L1	C	E	D	A	B
L2	E	D	A	B	C
L3	A	B	C	E	D
L4	D	A	B	C	E
L5	B	C	E	D	A

Esse segundo quadro continua sendo um quadrado latino: cada letra aparece uma vez em cada linha e uma vez em cada coluna.

Código R para gerar e aleatorizar um DQL:

set.seed(2026)

p <- 5
trat <- LETTERS[1:p]

ql_padrao <- outer(seq_len(p), seq_len(p), function(i, j) {
  trat[((i + j - 2) %% p) + 1]
})

ql_padrao

     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] "A"  "B"  "C"  "D"  "E" 
[2,] "B"  "C"  "D"  "E"  "A" 
[3,] "C"  "D"  "E"  "A"  "B" 
[4,] "D"  "E"  "A"  "B"  "C" 
[5,] "E"  "A"  "B"  "C"  "D"

linhas_sorteadas <- sample(seq_len(p))
colunas_sorteadas <- sample(seq_len(p))
rotulos_sorteados <- setNames(sample(trat), trat)

ql_aleatorizado <- ql_padrao[linhas_sorteadas, colunas_sorteadas]
ql_aleatorizado <- matrix(rotulos_sorteados[ql_aleatorizado], nrow = p)

ql_aleatorizado

     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] "E"  "C"  "D"  "A"  "B" 
[2,] "C"  "A"  "B"  "D"  "E" 
[3,] "B"  "E"  "A"  "C"  "D" 
[4,] "A"  "D"  "E"  "B"  "C" 
[5,] "D"  "B"  "C"  "E"  "A"

Verificação da propriedade latina:

apply(ql_aleatorizado, 1, function(x) sort(x))

     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] "A"  "A"  "A"  "A"  "A" 
[2,] "B"  "B"  "B"  "B"  "B" 
[3,] "C"  "C"  "C"  "C"  "C" 
[4,] "D"  "D"  "D"  "D"  "D" 
[5,] "E"  "E"  "E"  "E"  "E"

apply(ql_aleatorizado, 2, function(x) sort(x))

     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] "A"  "A"  "A"  "A"  "A" 
[2,] "B"  "B"  "B"  "B"  "B" 
[3,] "C"  "C"  "C"  "C"  "C" 
[4,] "D"  "D"  "D"  "D"  "D" 
[5,] "E"  "E"  "E"  "E"  "E"

Aleatorização quando linhas ou colunas são períodos

Quando colunas representam períodos, a aleatorização precisa ser compatível com a cronologia. Não se pode simplesmente executar o período 5 antes do período 1 se o desenho pressupõe seguimento temporal. Nesses casos:

sorteia-se a sequência de tratamentos dentro das restrições do QL;
respeita-se a ordem real dos períodos;
insere-se período de adaptação ou lavagem quando houver efeito residual;
registra-se qualquer perda de unidade experimental, especialmente em animais ou sujeitos humanos.

Em experimentos com animais, os materiais destacam que, se um animal morre no meio do experimento, o DQL pode ser inviabilizado, pois o mesmo animal deveria continuar nos períodos seguintes. Perdas no último período são menos graves e podem ser analisadas por modelos lineares gerais, mas a ANOVA balanceada clássica deixa de ser literalmente a mesma.

Erros comuns no DQL

Usar DQL apenas porque parece sofisticado, mesmo existindo só uma fonte de heterogeneidade.
Usar \(p=3\) ou \(p=4\) sem considerar que o erro terá poucos graus de liberdade.
Desrespeitar a regra de uma ocorrência por linha e por coluna.
Não controlar efeito residual entre períodos.
Tratar linhas e colunas como fatores de interesse primário quando elas são apenas controles locais.
Ignorar que não há replicação dentro de célula para estimar interações.
Confundir quadrado latino com uma tabela qualquer de tratamentos.

Diagnóstico após a ANOVA no DQL

Além dos diagnósticos usuais de resíduos, no DQL deve-se verificar:

se todas as linhas contêm todos os tratamentos uma vez;
se todas as colunas contêm todos os tratamentos uma vez;
se a ordem temporal não produziu efeito residual;
se alguma linha ou coluna tem comportamento incompatível com a hipótese de aditividade;
se o erro tem graus de liberdade suficientes para inferência confiável.

Em R:

# Usando um objeto ajustado por aov, por exemplo: modelo_dql
# par(mfrow = c(2, 2))
# plot(modelo_dql)

Diferenças entre DBC e DQL

Aspecto	DBC	DQL
Fonte de controle local	Uma fonte de variação, representada por blocos	Duas fontes de variação, representadas por linhas e colunas
Estrutura	Cada bloco contém todos os tratamentos	Cada tratamento aparece uma vez em cada linha e uma vez em cada coluna
Número de tratamentos	Flexível	Igual ao número de linhas e colunas
Número de observações	\(IJ\)	\(p^2\)
Repetições por tratamento	\(J\)	\(p\)
GL do erro	\((I-1)(J-1)\)	\((p-1)(p-2)\)
Casualização	Independente dentro de cada bloco	Restrita: deve preservar a estrutura latina
Uso típico	Campo agrícola com um gradiente dominante; animais agrupados por peso, idade, baia; laboratório por lote	Dois gradientes de campo; animal e período; máquina e dia; avaliador e ordem de prova
Principal vantagem	Simples, flexível e geralmente eficiente se os blocos forem homogêneos	Controla simultaneamente duas fontes de heterogeneidade
Principal limitação	Perde GL para blocos e exige homogeneidade dentro de blocos	Muito restritivo; poucos GL de erro em quadrados pequenos; exige aditividade forte

A escolha entre DBC e DQL depende da estrutura da heterogeneidade. Se há apenas um gradiente relevante, o DBC é mais simples e mais flexível. Se há duas fontes fortes e cruzadas de variação, o DQL pode reduzir muito o erro experimental, mas só é adequado se o pesquisador puder respeitar a exigência de número igual de tratamentos, linhas e colunas.

Critérios objetivos de decisão:

Pergunta	Se a resposta for sim	Delineamento mais provável
Há apenas uma fonte clara de heterogeneidade?	Sim	DBC
Cada bloco comporta todos os tratamentos?	Sim	DBC completo
Há duas fontes cruzadas de heterogeneidade?	Sim	DQL
O número de tratamentos é igual ao número de níveis das duas fontes de controle?	Sim	DQL possível
Há muitos tratamentos e blocos pequenos?	Sim	DBC pode ser inviável; considerar blocos incompletos
O mesmo animal, sujeito, máquina ou lote será observado em períodos sucessivos?	Sim	DQL ou desenho de medidas repetidas, com atenção a efeito residual
Há forte suspeita de interação tratamento-bloco, tratamento-linha ou tratamento-coluna?	Sim	DBC/DQL aditivos podem ser insuficientes
Os tratamentos têm efeito permanente ou destrutivo sobre a unidade?	Sim	Evitar DQL com períodos no mesmo indivíduo

Em termos de precisão, o controle local é vantajoso quando:

\[ QM_E(\text{com controle local}) < QM_E(\text{sem controle local}) \]

em magnitude suficiente para compensar a perda de graus de liberdade. Se os blocos, linhas ou colunas não explicam variabilidade relevante, o pesquisador paga o custo em graus de liberdade sem ganhar precisão.

Exemplos Práticos

Os exemplos abaixo têm duas naturezas:

extraídos ou diretamente ancorados nos materiais: aparecem nos PDFs como exemplos, croquis, aplicações ou exercícios;
exemplos de planejamento alinhados à teoria: não usam dados inventados, mas mostram como aplicar DBC ou DQL em diferentes áreas.

Em todos eles, a pergunta central é: qual fonte de variação será controlada pelo delineamento?

Exemplos de uso do DBC

DBC 1: bananeira cv. Nanicão

Banzatto & Kronka apresentam um planejamento em bananeira cv. Nanicão para avaliar sistemas de condução baseados no número e época de manutenção de rebentos. O delineamento é em blocos casualizados com 8 tratamentos e 5 repetições. Cada parcela tem 10 touceiras, espaçadas em \(2{,}5 \times 2{,}0\) m, com área de \(50\,m^2\). O experimento totaliza:

\[ 8 \times 5 = 40 \text{ parcelas} \]

\[ 40 \times 10 = 400 \text{ plantas}. \]

O esquema de ANOVA é:

Fonte	GL
Tratamentos	7
Blocos	4
Resíduo	28
Total	39

Aleatorização: em cada um dos 5 blocos, os 8 sistemas de condução são sorteados nas 8 parcelas. A ordem sorteada em um bloco não precisa coincidir com a ordem dos demais blocos.

DBC 2: cultivares de cana-de-açúcar

Os materiais usam o exemplo de competição de cultivares de cana-de-açúcar em blocos casualizados. Suponha 5 cultivares e 5 blocos.

Elemento	Definição
Tratamentos	Cultivares de cana
Unidade experimental	Parcela de campo
Blocos	Faixas homogêneas de solo
Resposta	Produtividade, teor de açúcar, biomassa
Aleatorização	Sorteio das 5 cultivares dentro de cada bloco

Esse exemplo é típico de DBC porque uma faixa de solo pode ser mais fértil que outra. A comparação entre cultivares deve ocorrer dentro de cada faixa homogênea.

DBC 3: fontes ou doses de adubação em soja

Elemento	Definição
Tratamentos	Doses ou fontes de adubo
Unidade experimental	Parcela de soja
Blocos	Faixas de fertilidade ou declividade
Resposta	Produtividade, massa de grãos, teor foliar
Justificativa	O solo é heterogêneo em uma direção dominante

Aleatorização: se houver 6 doses e 4 blocos, cada bloco recebe as 6 doses em ordem sorteada. A ANOVA terá \(5\) GL para tratamentos, \(3\) GL para blocos e \(15\) GL para erro.

DBC 4: inseticidas no controle de pragas

Elemento	Definição
Tratamentos	Inseticidas ou doses
Unidade experimental	Parcela infestada
Blocos	Faixas com nível inicial semelhante de infestação
Resposta	Número de insetos, dano foliar, produtividade
Justificativa	A infestação inicial pode variar no campo

Esse caso se conecta diretamente ao princípio de casualização discutido nos materiais: sem sorteio, um inseticida poderia parecer melhor apenas por ter sido alocado em parcelas menos infestadas.

DBC 5: métodos de semeadura de mamoeiro

Banzatto & Kronka apresentam exemplo com métodos de semeadura de mamoeiro. Em planejamento DBC, os tratamentos podem ser métodos de formação de mudas ou semeadura direta, e os blocos controlam heterogeneidade ambiental entre áreas.

Elemento	Definição
Tratamentos	Métodos de semeadura ou formação de mudas
Unidade experimental	Parcela com plantas de mamoeiro
Blocos	Faixas homogêneas de campo
Resposta	Altura, sobrevivência, desenvolvimento inicial
Aleatorização	Sorteio dos métodos dentro de cada bloco

DBC 6: irrigação em cultura anual

Elemento	Definição
Tratamentos	Lâminas de irrigação
Unidade experimental	Parcela irrigada
Blocos	Posição no campo ou faixa de textura do solo
Resposta	Produtividade, eficiência do uso da água
Risco sem blocagem	Confundir efeito da lâmina com capacidade de retenção de água

DBC 7: competição de cultivares de milho

Elemento	Definição
Tratamentos	Cultivares ou híbridos
Unidade experimental	Parcela de milho
Blocos	Gradiente de fertilidade, umidade ou declividade
Resposta	Produtividade, altura de plantas, acamamento
Aleatorização	Cada cultivar sorteada uma vez dentro de cada bloco

Esse é um dos usos mais clássicos do DBC em experimentação agronômica.

DBC 8: correção do solo e calagem

Elemento	Definição
Tratamentos	Doses de calcário ou corretivos
Unidade experimental	Parcela agrícola
Blocos	Faixas com pH ou saturação por bases semelhantes
Resposta	pH final, produtividade, disponibilidade de nutrientes
Justificativa	A fertilidade inicial do solo pode gerar variação sistemática

DBC 9: rações para suínos

Sonia Vieira apresenta exemplo de blocos completos com suínos agrupados por peso. O raciocínio é:

Elemento	Definição
Tratamentos	Promotores de crescimento ou rações
Unidade experimental	Animal ou baia
Blocos	Grupos de suínos com pesos iniciais próximos
Resposta	Ganho de peso, conversão alimentar
Aleatorização	Sorteio dos tratamentos dentro de cada grupo de peso

O peso inicial é uma fonte forte de variação. Bloquear por peso evita comparar uma ração aplicada a animais maiores com outra aplicada a animais menores.

DBC 10: nutrição de aves

Elemento	Definição
Tratamentos	Níveis de proteína, energia ou aditivo
Unidade experimental	Boxe com aves
Blocos	Fileiras do galpão ou posição em relação à ventilação
Resposta	Ganho de peso, consumo, conversão alimentar
Justificativa	Temperatura e ventilação variam dentro do galpão

DBC 11: aquicultura

Elemento	Definição
Tratamentos	Dietas, densidades de estocagem ou probióticos
Unidade experimental	Tanque ou viveiro
Blocos	Setor do sistema hidráulico ou gradiente de renovação de água
Resposta	Crescimento, sobrevivência, conversão alimentar
Aleatorização	Tratamentos sorteados entre tanques dentro de cada setor

DBC 12: bovinos leiteiros com blocos por produção inicial

Elemento	Definição
Tratamentos	Suplementos alimentares
Unidade experimental	Vaca ou grupo de vacas
Blocos	Produção pré-experimental, ordem de parto ou estágio de lactação
Resposta	Produção de leite, composição do leite
Justificativa	Animais com maior produção inicial tendem a manter maior produção

Quando a mesma vaca recebe vários tratamentos em períodos sucessivos, o delineamento pode migrar para DQL ou medidas repetidas. Se cada animal recebe apenas um tratamento, o DBC por produção inicial é mais simples.

DBC 13: avaliação sensorial de cafés

Sonia Vieira apresenta exemplo de prova de xícara com degustadores como blocos.

Elemento	Definição
Tratamentos	Tipos de café
Unidade experimental	Amostra servida ao degustador
Blocos	Degustadores
Resposta	Nota sensorial
Aleatorização	Ordem dos cafés sorteada separadamente para cada degustador

Esse exemplo é muito importante didaticamente: o degustador é uma fonte de variação, pois alguns avaliadores tendem a dar notas maiores ou menores. Bloquear por degustador melhora a comparação entre cafés.

DBC 14: vinhos avaliados por juízes

Elemento	Definição
Tratamentos	Vinhos, safras ou métodos de vinificação
Unidade experimental	Taça codificada
Blocos	Juízes
Resposta	Nota global, aroma, acidez, corpo
Aleatorização	Cada juiz recebe os vinhos em ordem sorteada

Quando a ordem de prova também é importante, pode-se considerar DQL com juiz e ordem como controles.

DBC 15: ensaio clínico bloqueado por estágio da doença

Taback discute blocagem em estudos com pacientes por estágio da doença. Em um DBC ou randomização em blocos:

Elemento	Definição
Tratamentos	Terapias ou doses
Unidade experimental	Paciente
Blocos	Estágio da doença, centro clínico ou faixa de risco
Resposta	Sobrevida, resposta clínica, biomarcador
Aleatorização	Sorteio dos tratamentos dentro de cada estrato

A blocagem impede que um tratamento receba, por acaso, maior proporção de pacientes em estágio mais leve.

DBC 16: dermatologia com lesões no mesmo paciente

Elemento	Definição
Tratamentos	Cremes, pomadas ou curativos
Unidade experimental	Lesão ou área cutânea
Blocos	Paciente
Resposta	Redução da lesão, escore inflamatório
Justificativa	Pacientes diferem em genética, imunidade e hábitos

Cada paciente pode receber todos os tratamentos em regiões comparáveis, com sorteio da alocação dentro de paciente.

DBC 17: oftalmologia com olhos pareados

Elemento	Definição
Tratamentos	Colírios ou procedimentos
Unidade experimental	Olho
Blocos	Paciente
Resposta	Pressão intraocular, acuidade, inflamação
Aleatorização	Sorteio de qual olho recebe qual tratamento

Com dois tratamentos e dois olhos, o DBC se aproxima de um delineamento pareado.

DBC 18: indústria têxtil com rolos de tecido

Montgomery apresenta exercícios e exemplos de blocagem com materiais. Um planejamento típico:

Elemento	Definição
Tratamentos	Produtos químicos, acabamentos ou processos
Unidade experimental	Amostra de tecido
Blocos	Rolo ou lote de tecido
Resposta	Resistência, encolhimento, cor
Aleatorização	Aplicar todos os tratamentos em ordem sorteada dentro de cada rolo

O rolo é bloco porque amostras do mesmo rolo são mais semelhantes entre si do que amostras de rolos diferentes.

DBC 19: indústria química com lotes de matéria-prima

Elemento	Definição
Tratamentos	Catalisadores, temperaturas ou formulações
Unidade experimental	Batelada experimental
Blocos	Lote de matéria-prima
Resposta	Rendimento, pureza, tempo de reação
Justificativa	Lotes de matéria-prima podem ter composição ligeiramente diferente

DBC 20: laboratório analítico com operadores

Elemento	Definição
Tratamentos	Métodos analíticos
Unidade experimental	Amostra analisada
Blocos	Operador ou dia
Resposta	Concentração estimada, erro, tempo de análise
Aleatorização	Ordem dos métodos sorteada dentro de operador ou dia

Se operador e dia forem simultaneamente importantes e tiverem o mesmo número de níveis que os métodos, pode-se considerar DQL.

DBC 21: educação com escolas como blocos

Elemento	Definição
Tratamentos	Métodos de ensino
Unidade experimental	Turma
Blocos	Escola ou faixa de desempenho inicial
Resposta	Ganho em teste padronizado
Justificativa	Escolas diferem em infraestrutura e perfil socioeconômico

DBC 22: psicologia experimental com sujeitos como blocos

Elemento	Definição
Tratamentos	Interfaces, estímulos ou tarefas
Unidade experimental	Sessão/tarefa aplicada a um sujeito
Blocos	Sujeito
Resposta	Tempo de reação, acurácia, escore
Aleatorização	Ordem dos estímulos sorteada dentro de sujeito

Se a ordem da tarefa é uma segunda fonte importante, um DQL com sujeito e ordem pode ser mais adequado.

DBC 23: ciência ambiental com transectos

Elemento	Definição
Tratamentos	Métodos de recuperação ambiental
Unidade experimental	Parcela em área degradada
Blocos	Transectos com condições semelhantes
Resposta	Cobertura vegetal, erosão, biodiversidade
Aleatorização	Tratamentos sorteados dentro de cada transecto

DBC 24: armazenamento pós-colheita

Elemento	Definição
Tratamentos	Embalagens ou atmosferas de armazenamento
Unidade experimental	Lote de frutos
Blocos	Dia de colheita ou talhão de origem
Resposta	Perda de massa, firmeza, teor de sólidos solúveis
Justificativa	Frutos colhidos em dias ou talhões diferentes podem ter maturação distinta

Exemplos de uso do DQL

DQL 1: cinco tratamentos em cinco animais e cinco períodos

O exemplo numérico de Estatística experimental na agropecuária usa 5 animais nas linhas, 5 períodos nas colunas e 5 tratamentos. Cada animal recebe todos os tratamentos uma vez ao longo dos períodos, e cada período contém todos os tratamentos uma vez.

Elemento	Definição
Linhas	Animais
Colunas	Períodos
Tratamentos	A, B, C, D, E
Resposta	Medida biológica ou produtiva
Restrição	Evitar efeito residual entre períodos

DQL 2: cana-de-açúcar com dois gradientes no campo

Sonia Vieira apresenta exemplo conceitual de quadrado latino em agricultura para variedades de cana-de-açúcar sob duas direções de heterogeneidade.

Elemento	Definição
Linhas	Faixas em uma direção do campo
Colunas	Faixas na direção perpendicular
Tratamentos	Variedades ou fórmulas de fertilização
Resposta	Produtividade, teor de açúcar
Justificativa	Fertilidade ou umidade variam em duas direções

DQL 3: adubação em soja

Banzatto & Kronka citam experimento em quadrado latino com 5 níveis de adubação para soja.

Elemento	Definição
Linhas	Gradiente de solo 1
Colunas	Gradiente de solo 2
Tratamentos	5 níveis de adubação
Resposta	Produtividade da soja
ANOVA	Tratamentos, linhas, colunas, resíduo

DQL 4: casa de vegetação com luz e temperatura

Elemento	Definição
Linhas	Faixas de luminosidade
Colunas	Faixas de temperatura ou ventilação
Tratamentos	Substratos, doses ou cultivares
Resposta	Crescimento, massa seca, área foliar
Justificativa	Bancadas de casa de vegetação frequentemente têm gradientes cruzados

DQL 5: vacas leiteiras, rações e períodos

Elemento	Definição
Linhas	Vacas
Colunas	Períodos
Tratamentos	Rações ou suplementos
Resposta	Produção de leite, gordura, proteína
Cuidados	Período pré-experimental e período de lavagem

Esse é um caso clássico quando os animais são caros e poucos. A repetição no tempo compensa a baixa disponibilidade de unidades, mas exige resposta reversível.

DQL 6: equinos com suplementos

Elemento	Definição
Linhas	Animais
Colunas	Períodos de avaliação
Tratamentos	Suplementos ou dietas
Resposta	Desempenho, frequência cardíaca, recuperação
Restrição	Não usar se o tratamento tiver efeito permanente prolongado

DQL 7: avaliação sensorial com provadores e ordem de apresentação

Elemento	Definição
Linhas	Provadores
Colunas	Ordem de degustação
Tratamentos	Amostras de café, vinho, queijo ou suco
Resposta	Nota sensorial
Justificativa	Controla diferenças entre provadores e efeito de ordem/fadiga

O DBC com provador como bloco controla apenas diferença entre provadores. O DQL controla também a posição da amostra na sequência de degustação.

DQL 8: indústria com formulações, lotes e operadores

Montgomery apresenta a lógica de DQL com formulações de propelente, lotes de matéria-prima e operadores.

Elemento	Definição
Linhas	Lotes ou bateladas de matéria-prima
Colunas	Operadores
Tratamentos	Formulações
Resposta	Taxa de queima, rendimento, pureza
Justificativa	Controla duas fontes de variação de processo

DQL 9: máquinas, dias e operadores

Sonia Vieira apresenta exemplo em que operadores, máquinas e dias da semana aparecem em arranjo de quadrado latino.

Elemento	Definição
Linhas	Máquinas
Colunas	Dias
Tratamentos	Operadores ou métodos operacionais
Resposta	Itens produzidos, defeitos, tempo de ciclo
Justificativa	Máquinas e dias podem afetar produção

DQL 10: laboratório com métodos, técnicos e dias

Elemento	Definição
Linhas	Técnicos
Colunas	Dias
Tratamentos	Métodos de análise
Resposta	Erro analítico, recuperação, tempo
Aleatorização	Cada método aparece uma vez por técnico e uma vez por dia

DQL 11: estudo de interfaces com usuários e ordem de uso

Elemento	Definição
Linhas	Usuários
Colunas	Ordem da tarefa
Tratamentos	Interfaces ou layouts
Resposta	Tempo de conclusão, erro, satisfação
Justificativa	Controla diferenças entre usuários e efeito de aprendizagem/fadiga

DQL 12: educação com turmas e semanas

Elemento	Definição
Linhas	Turmas
Colunas	Semanas ou módulos
Tratamentos	Estratégias didáticas
Resposta	Desempenho em avaliações curtas
Cuidados	Evitar aprendizagem cumulativa que contamine tratamentos seguintes

Se o efeito de uma estratégia de ensino persistir por muitas semanas, o DQL pode ser inadequado.

DQL 13: fisiologia do exercício

Elemento	Definição
Linhas	Atletas
Colunas	Sessões
Tratamentos	Protocolos de aquecimento
Resposta	Potência, tempo, frequência cardíaca
Cuidados	Intervalo suficiente entre sessões

DQL 14: agricultura de precisão com talhão em duas direções

Elemento	Definição
Linhas	Faixas por coordenada norte-sul
Colunas	Faixas por coordenada leste-oeste
Tratamentos	Doses de insumo ou cultivares
Resposta	Produtividade georreferenciada
Justificativa	Controla variação espacial em duas direções

DQL 15: armazenamento com câmaras e períodos

Elemento	Definição
Linhas	Câmaras ou prateleiras
Colunas	Períodos
Tratamentos	Embalagens ou atmosferas
Resposta	Perda de massa, firmeza, cor
Cuidados	Tratamentos destrutivos não devem voltar à mesma unidade

DQL 16: odontologia com materiais restauradores

Elemento	Definição
Linhas	Pacientes ou blocos dentários comparáveis
Colunas	Posição ou período
Tratamentos	Materiais restauradores
Resposta	Resistência, desgaste, sensibilidade
Cuidados	A resposta precisa ser comparável entre posições ou períodos

DQL 17: avaliação de fragrâncias no varejo

Elemento	Definição
Linhas	Lojas
Colunas	Horários ou dias
Tratamentos	Fragrâncias ambientais
Resposta	Tempo de permanência, vendas, avaliação do consumidor
Justificativa	Controla diferenças entre lojas e horários

DQL 18: testes de software com avaliadores e ordem de tarefa

Elemento	Definição
Linhas	Avaliadores
Colunas	Ordem de execução
Tratamentos	Versões de interface, fluxos ou ferramentas
Resposta	Tempo, erro, carga cognitiva
Justificativa	Controla habilidade individual e efeito de aprendizagem

Comparação didática dos exemplos

Situação	Melhor candidato	Por quê
Cultivares em faixas de solo	DBC	Uma fonte dominante: fertilidade
Cultivares em dois gradientes cruzados	DQL	Duas fontes espaciais
Cafés avaliados por degustadores	DBC	Degustador é bloco
Cafés avaliados com efeito de ordem	DQL	Degustador e ordem são controles
Rações com animais agrupados por peso	DBC	Peso inicial é uma fonte
Rações nos mesmos animais ao longo de períodos	DQL	Animal e período são controles
Formulações com lote de matéria-prima	DBC	Lote é bloco
Formulações com lote e operador	DQL	Duas fontes de variação
Terapias em pacientes estratificados por estágio	DBC	Estágio é bloco/estrato
Tratamentos reversíveis aplicados em sujeitos e períodos	DQL	Sujeito e período são controles

Resolução de Exercícios

Exercício 1: DBC com Promalin em macieira

Dados extraídos de Banzatto & Kronka. O experimento avaliou 5 tratamentos de aplicação de Promalin em macieiras, com 4 blocos. A resposta é o peso médio dos frutos, em gramas.

Tratamento	Bloco 1	Bloco 2	Bloco 3	Bloco 4	Total
1	142,4	144,8	145,2	138,9	571,3
2	139,3	137,8	144,4	130,6	552,1
3	140,7	134,1	136,1	144,1	555,0
4	150,9	135,8	137,0	136,4	560,1
5	153,5	165,0	151,8	150,2	620,5
Total dos blocos	726,8	717,5	714,5	700,2	2859,0

Temos:

\[ I=5,\quad J=4,\quad N=20,\quad G=2859{,}0. \]

O fator de correção é:

\[ C = \frac{G^2}{N} = \frac{2859^2}{20} = 408694{,}05. \]

A soma dos quadrados das observações é:

\[ \sum y_{ij}^2 = 409966{,}36. \]

Logo:

\[ SQ_{Total} = 409966{,}36 - 408694{,}05 = 1272{,}31. \]

Para tratamentos:

\[ SQ_{Trat} = \frac{1}{4} (571{,}3^2+552{,}1^2+555{,}0^2+560{,}1^2+620{,}5^2) -408694{,}05 = 794{,}79. \]

Para blocos:

\[ SQ_{Blocos} = \frac{1}{5} (726{,}8^2+717{,}5^2+714{,}5^2+700{,}2^2) -408694{,}05 = 72{,}91. \]

Para o resíduo:

\[ SQ_E = 1272{,}31-794{,}79-72{,}91 = 404{,}61. \]

Tabela ANOVA:

Fonte	GL	SQ	QM	\(F_{calc}\)	\(F_{5\%}\)	\(F_{1\%}\)	Decisão
Tratamentos	4	794,79	198,70	5,89	3,26	5,41	Significativo a 1%
Blocos	3	72,91	24,30	0,72	3,49	5,95	Não significativo
Resíduo	12	404,61	33,72
Total	19	1272,31

Conclusão: como

\[ F_{Trat}=5{,}89 > F_{0{,}99;4,12}=5{,}41, \]

rejeita-se \(H_0\) para tratamentos ao nível de 1%. Há evidência de que as formas de aplicação do Promalin alteram o peso médio dos frutos. Para blocos,

\[ F_{Blocos}=0{,}72 < F_{0{,}95;3,12}=3{,}49, \]

não há evidência estatística de efeito de blocos nesse conjunto.

Código R executável:

promalin <- data.frame(
  trat = factor(rep(1:5, each = 4)),
  bloco = factor(rep(1:4, times = 5)),
  y = c(
    142.4, 144.8, 145.2, 138.9,
    139.3, 137.8, 144.4, 130.6,
    140.7, 134.1, 136.1, 144.1,
    150.9, 135.8, 137.0, 136.4,
    153.5, 165.0, 151.8, 150.2
  )
)

modelo_dbc <- aov(y ~ trat + bloco, data = promalin)
anova(modelo_dbc)

Analysis of Variance Table

Response: y
          Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)   
trat       4 794.79 198.697  5.8929 0.007334 **
bloco      3  72.91  24.302  0.7207 0.558616   
Residuals 12 404.61  33.718                    
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

qf(0.95, df1 = 4, df2 = 12)

[1] 3.259167

qf(0.99, df1 = 4, df2 = 12)

[1] 5.411951

qf(0.95, df1 = 3, df2 = 12)

[1] 3.490295

qf(0.99, df1 = 3, df2 = 12)

[1] 5.952545

TukeyHSD(modelo_dbc, "trat")

  Tukey multiple comparisons of means
    95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = y ~ trat + bloco, data = promalin)

$trat
      diff         lwr       upr     p adj
2-1 -4.800 -17.8874729  8.287473 0.7680505
3-1 -4.075 -17.1624729  9.012473 0.8537704
4-1 -2.800 -15.8874729 10.287473 0.9566831
5-1 12.300  -0.7874729 25.387473 0.0691173
3-2  0.725 -12.3624729 13.812473 0.9997480
4-2  2.000 -11.0874729 15.087473 0.9871214
5-2 17.100   4.0125271 30.187473 0.0093768
4-3  1.275 -11.8124729 14.362473 0.9976843
5-3 16.375   3.2875271 29.462473 0.0126749
5-4 15.100   2.0125271 28.187473 0.0215966

cv_dbc <- 100 * sqrt(deviance(modelo_dbc) / df.residual(modelo_dbc)) / mean(promalin$y)
cv_dbc

[1] 4.062054

O coeficiente de variação é:

\[ CV = 100\frac{\sqrt{QM_E}}{\bar{Y}_{..}} = 100\frac{\sqrt{33{,}72}}{142{,}95} = 4{,}06\%. \]

Exercício 2: DQL 5 x 5 com animais e períodos

Dados extraídos de Estatística experimental na agropecuária. Há 5 animais, 5 períodos e 5 tratamentos. A resposta é fictícia, usada para ilustrar a análise.

Animal	Período 1	Período 2	Período 3	Período 4	Período 5
1	B = 164	D = 161	A = 149	C = 157	E = 164
2	E = 168	B = 171	D = 162	A = 152	C = 152
3	C = 153	E = 152	B = 172	D = 163	A = 153
4	D = 160	A = 148	C = 159	E = 160	B = 171
5	A = 145	C = 155	E = 145	B = 169	D = 153

Aqui:

\[ p=5,\quad N=25,\quad G=3958. \]

O fator de correção é:

\[ C = \frac{3958^2}{25}=626630{,}56. \]

A soma dos quadrados das observações é:

\[ \sum y^2 = 628226. \]

Assim:

\[ SQ_{Total}=628226-626630{,}56=1595{,}44. \]

Totais de linhas:

\[ L=(795,805,793,798,767). \]

Logo:

\[ SQ_{Linhas} = \frac{1}{5}(795^2+805^2+793^2+798^2+767^2)-626630{,}56 = 167{,}84. \]

Totais de colunas:

\[ C_j=(790,787,787,801,793). \]

Logo:

\[ SQ_{Colunas} = 27{,}04. \]

Totais de tratamentos:

\[ T_A=747,\quad T_B=847,\quad T_C=776,\quad T_D=799,\quad T_E=789. \]

Logo:

\[ SQ_{Trat} = \frac{1}{5}(747^2+847^2+776^2+799^2+789^2)-626630{,}56 = 1072{,}64. \]

O resíduo é:

\[ SQ_E = 1595{,}44-167{,}84-27{,}04-1072{,}64 = 327{,}92. \]

Tabela ANOVA:

Fonte	GL	SQ	QM	\(F_{calc}\)	\(F_{5\%}\)	\(F_{1\%}\)	Decisão
Linhas	4	167,84	41,96	1,54	3,26	5,41	Não significativo
Colunas	4	27,04	6,76	0,25	3,26	5,41	Não significativo
Tratamentos	4	1072,64	268,16	9,81	3,26	5,41	Significativo a 1%
Erro	12	327,92	27,33
Total	24	1595,44

Conclusão: como

\[ F_{Trat}=9{,}81 > F_{0{,}99;4,12}=5{,}41, \]

rejeita-se \(H_0\) ao nível de 1%. Há diferença estatisticamente significativa entre tratamentos. Linhas e colunas não foram significativas nesse exemplo, mas continuam fazendo parte do delineamento porque são restrições de controle local.

Código R executável:

ql5x5 <- data.frame(
  animal = factor(rep(1:5, each = 5)),
  periodo = factor(rep(1:5, times = 5)),
  trat = factor(c(
    "B", "D", "A", "C", "E",
    "E", "B", "D", "A", "C",
    "C", "E", "B", "D", "A",
    "D", "A", "C", "E", "B",
    "A", "C", "E", "B", "D"
  )),
  y = c(
    164, 161, 149, 157, 164,
    168, 171, 162, 152, 152,
    153, 152, 172, 163, 153,
    160, 148, 159, 160, 171,
    145, 155, 145, 169, 153
  )
)

modelo_dql <- aov(y ~ animal + periodo + trat, data = ql5x5)
anova(modelo_dql)

Analysis of Variance Table

Response: y
          Df  Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
animal     4  167.84  41.960  1.5355 0.2538682    
periodo    4   27.04   6.760  0.2474 0.9057535    
trat       4 1072.64 268.160  9.8131 0.0009217 ***
Residuals 12  327.92  27.327                      
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

qf(0.95, df1 = 4, df2 = 12)

[1] 3.259167

qf(0.99, df1 = 4, df2 = 12)

[1] 5.411951

TukeyHSD(modelo_dql, "trat")

  Tukey multiple comparisons of means
    95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = y ~ animal + periodo + trat, data = ql5x5)

$trat
     diff         lwr        upr     p adj
B-A  20.0   9.4618521 30.5381479 0.0004511
C-A   5.8  -4.7381479 16.3381479 0.4401654
D-A  10.4  -0.1381479 20.9381479 0.0536735
E-A   8.4  -2.1381479 18.9381479 0.1452524
C-B -14.2 -24.7381479 -3.6618521 0.0075155
D-B  -9.6 -20.1381479  0.9381479 0.0805851
E-B -11.6 -22.1381479 -1.0618521 0.0288729
D-C   4.6  -5.9381479 15.1381479 0.6440152
E-C   2.6  -7.9381479 13.1381479 0.9297420
E-D  -2.0 -12.5381479  8.5381479 0.9715988

cv_dql <- 100 * sqrt(deviance(modelo_dql) / df.residual(modelo_dql)) / mean(ql5x5$y)
cv_dql

[1] 3.301852

As médias dos tratamentos são:

\[ \bar{A}=149{,}4,\quad \bar{B}=169{,}4,\quad \bar{C}=155{,}2,\quad \bar{D}=159{,}8,\quad \bar{E}=157{,}8. \]

Pelo resultado do material, o tratamento B forma o grupo superior; D é intermediário; A, C e E ficam no grupo inferior ou estatisticamente semelhante ao inferior, conforme o teste de Tukey a 5%.

Exercício 3: construir a aleatorização de um DBC

Planeje a casualização de um DBC com 4 tratamentos (\(A\), \(B\), \(C\), \(D\)) e 6 blocos. Cada bloco contém 4 parcelas.

Passo 1: defina o número total de unidades experimentais:

\[ N = IJ = 4 \times 6 = 24. \]

Passo 2: dentro de cada bloco, sorteie uma permutação dos 4 tratamentos.

Passo 3: verifique que cada tratamento aparece exatamente uma vez em cada bloco.

Código R:

set.seed(2026)

tratamentos <- c("A", "B", "C", "D")
blocos <- paste0("B", 1:6)

croqui_dbc <- do.call(
  rbind,
  lapply(blocos, function(bl) {
    data.frame(
      bloco = bl,
      parcela = paste0("P", seq_along(tratamentos)),
      tratamento = sample(tratamentos)
    )
  })
)

croqui_dbc

   bloco parcela tratamento
1     B1      P1          A
2     B1      P2          D
3     B1      P3          C
4     B1      P4          B
5     B2      P1          A
6     B2      P2          C
7     B2      P3          D
8     B2      P4          B
9     B3      P1          D
10    B3      P2          A
11    B3      P3          C
12    B3      P4          B
13    B4      P1          B
14    B4      P2          D
15    B4      P3          C
16    B4      P4          A
17    B5      P1          C
18    B5      P2          A
19    B5      P3          B
20    B5      P4          D
21    B6      P1          D
22    B6      P2          B
23    B6      P3          C
24    B6      P4          A

xtabs(~ bloco + tratamento, data = croqui_dbc)

     tratamento
bloco A B C D
   B1 1 1 1 1
   B2 1 1 1 1
   B3 1 1 1 1
   B4 1 1 1 1
   B5 1 1 1 1
   B6 1 1 1 1

Conclusão operacional: a tabela de contingência deve conter apenas valores 1. Isso confirma que, em cada bloco, todos os tratamentos aparecem uma vez.

Se a tabela apresentar valor 0 ou 2 em algum bloco, o croqui não é um DBC completo.

Exercício 4: construir a aleatorização de um DQL

Planeje um DQL \(5\times5\) para 5 tratamentos (\(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\)). Use linhas e colunas como dois controles locais.

Passo 1: comece com um quadrado latino padrão:

\[ \begin{matrix} A & B & C & D & E\\ B & C & D & E & A\\ C & D & E & A & B\\ D & E & A & B & C\\ E & A & B & C & D \end{matrix} \]

Passo 2: sorteie linhas, colunas e rótulos dos tratamentos.

Passo 3: verifique que cada linha e cada coluna contém os 5 tratamentos uma única vez.

Código R:

set.seed(2026)

p <- 5
trat <- LETTERS[1:p]

ql <- outer(seq_len(p), seq_len(p), function(i, j) {
  trat[((i + j - 2) %% p) + 1]
})

perm_linhas <- sample(seq_len(p))
perm_colunas <- sample(seq_len(p))
perm_trat <- setNames(sample(trat), trat)

ql_rand <- ql[perm_linhas, perm_colunas]
ql_rand <- matrix(perm_trat[ql_rand], nrow = p)

ql_rand

     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] "E"  "C"  "D"  "A"  "B" 
[2,] "C"  "A"  "B"  "D"  "E" 
[3,] "B"  "E"  "A"  "C"  "D" 
[4,] "A"  "D"  "E"  "B"  "C" 
[5,] "D"  "B"  "C"  "E"  "A"

verifica_linhas <- apply(ql_rand, 1, function(x) length(unique(x)) == p)
verifica_colunas <- apply(ql_rand, 2, function(x) length(unique(x)) == p)

verifica_linhas

[1] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE

verifica_colunas

[1] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE

Conclusão operacional: todos os valores de verifica_linhas e verifica_colunas devem ser TRUE. Isso confirma que a casualização preservou a estrutura latina.

Exercício 5: decidir entre DBC e DQL

Para cada situação, indique o delineamento mais adequado:

Situação	Fonte(s) de heterogeneidade	Delineamento indicado
6 cultivares em campo com gradiente de fertilidade em uma direção	Fertilidade	DBC
5 adubos em campo com gradiente norte-sul e leste-oeste	Duas direções do solo	DQL
4 cafés avaliados por 12 degustadores, sem preocupação com ordem	Degustador	DBC
4 cafés avaliados por 4 degustadores em 4 posições de ordem	Degustador e ordem	DQL
5 rações testadas em 5 vacas ao longo de 5 períodos	Animal e período	DQL
5 rações testadas em grupos independentes de animais formados por peso inicial	Peso inicial	DBC
4 formulações testadas em 4 lotes de matéria-prima	Lote	DBC
4 formulações testadas em 4 lotes e 4 operadores	Lote e operador	DQL

Justificativa: o DBC controla uma fonte de heterogeneidade; o DQL controla duas. Quando houver períodos e tratamentos com possível efeito residual, a decisão estatística deve ser subordinada à viabilidade biológica ou operacional.

Exercício 6: checar pressupostos nos exemplos ajustados

Para o DBC de Promalin e o DQL \(5\times5\), os modelos ajustados por aov() permitem inspeção gráfica dos resíduos:

# Diagnóstico do DBC
par(mfrow = c(2, 2))
plot(modelo_dbc)

# Diagnóstico do DQL
par(mfrow = c(2, 2))
plot(modelo_dql)

par(mfrow = c(1, 1))

Interpretação:

No gráfico resíduos versus ajustados, procura-se ausência de padrão sistemático.
No Q-Q plot, procura-se aderência aproximada dos resíduos à reta.
No gráfico escala-localização, procura-se dispersão relativamente constante.
Pontos extremos devem ser confrontados com anotações de campo ou laboratório.

Se os pressupostos falham fortemente, alternativas incluem transformação da resposta, modelo linear generalizado, modelo misto, análise não paramétrica ou revisão do delineamento.

Conclusão

DBC e DQL são delineamentos baseados no mesmo princípio: remover do erro experimental fontes conhecidas de variação que não são o foco da pesquisa. O DBC controla uma fonte de heterogeneidade por meio de blocos completos e casualização dentro de cada bloco. O DQL amplia essa lógica para duas direções de controle, usando linhas e colunas ortogonais aos tratamentos.

O ganho de precisão só ocorre quando o controle local realmente reduz a variabilidade residual. Caso contrário, há apenas perda de graus de liberdade. Por isso, a decisão estatística começa antes da ANOVA: começa na identificação correta das fontes de heterogeneidade, na montagem do campo ou laboratório, na casualização e na garantia de que as pressuposições do modelo aditivo são plausíveis.

Em síntese: use DBC quando houver uma fonte dominante de variação a controlar; use DQL quando houver duas fontes cruzadas e fortes de variação, desde que a restrição de número igual de tratamentos, linhas e colunas seja experimentalmente viável. Em ambos os casos, a aleatorização deve respeitar a estrutura do delineamento: no DBC, sorteia-se dentro de blocos; no DQL, sorteiam-se linhas, colunas e rótulos preservando a propriedade latina.