| Country | Sugar.consumption | Depression.rate |
|---|---|---|
| USA | 300 | 3.0 |
| Canada | 390 | 5.2 |
| France | 350 | 4.4 |
| Germany | 375 | 5.0 |
| New Zealand | 480 | 5.7 |
| South Korea | 150 | 2.3 |
Análise de Regressão
Bacharelado em Estatística - UFMT
Lista de exercícios 1
Demonstre as proposições a seguir: Para quaisquer duas variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\):
- \(\text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(Y, X)\)
- \(\text{Cov}(X, X) = V(X)\)
- (Fórmula alternativa da covariância) \(\text{Cov}(X, Y) = \mathbb{E}(XY) - \mu_X \cdot \mu_Y\)
- (Propriedade distributiva da covariância) Para qualquer variável aleatória \(Z\) e quaisquer constantes \(a, b, c\): \[\text{Cov}(aX + bY + c, Z) = a\text{Cov}(X, Z) + b\text{Cov}(Y, Z)\]
- \(\text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(Y, X)\)
Demonstre as proposições a seguir: Para quaisquer duas variáveis aleatórias \(X\) e \(Y\): a. \(\text{Corr}(X, Y) = \text{Corr}(Y, X)\) b. \(\text{Corr}(X, X) = 1\) c. (Propriedade de invariança à escala) Se \(a, b, c, d\) são constantes e \(ac > 0\), então: \[\text{Corr}(aX + b, cY + d) = \text{Corr}(X, Y)\] d. A correlação é limitada: \[-1 \leq \text{Corr}(X, Y) \leq 1\]
Mostre que, quando \(X\) e \(Y\) são independentes, \[\text{Cov}(X, Y) = \text{Corr}(X, Y) = 0.\]
- Use as propriedades da covariância para mostrar que
\[\text{Cov}(aX + b, cY + d) = ac \, \text{Cov}(X, Y).\] - Use a parte (a) juntamente com as propriedades de reescalonamento do desvio padrão para mostrar que
\[ \text{Corr}(aX + b, cY + d) = \text{Corr}(X, Y)\]
quando \(ac > 0\) (esta é a propriedade de invariança à escala da correlação). - O que acontece se \(a\) e \(c\) tiverem sinais opostos, de modo que \(ac < 0\)?
Verifique que, se \(Y = aX + b\) com \(a \neq 0\), então
\[\text{Corr}(X, Y) = +1 \text{ ou } -1.\]
Sob quais condições \(\rho = +1\)?Considere as variáveis padronizadas \(Z_X = \frac{(X - \mu_X)}{\sigma_X}\) e \(Z_Y = \frac{(Y - \mu_Y)}{\sigma_Y}\), e seja \(\rho = \text{Corr}(X, Y)\).
- Use as propriedades da covariância e da correlação para verificar que
\[\text{Corr}(X, Y) = \text{Cov}(Z_X, Z_Y) = \mathbb{E}(Z_X Z_Y).\] - Use a linearidade da esperança juntamente com a parte (a) para mostrar que
\[\mathbb{E}[(Z_Y - \rho Z_X)^2] = 1 - \rho^2.\]
Dica: Se \(Z\) é uma variável aleatória padronizada, quais são sua média e variância, e como isso pode ser usado para determinar \(\mathbb{E}(Z^2)\)? - Use a parte (b) para mostrar que
\[-1 \leq \rho \leq 1.\] - Use a parte (b) para mostrar que \(\rho = 1\) implica que
\[Y = aX + b, \quad \text{onde } a > 0,\]
e que \(\rho = -1\) implica que
\[Y = aX + b, \quad \text{onde } a < 0.\]
- O coeficiente de correlação amostral (estimador da correlaçao) para os \(n\) pares \((x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)\) é dado por:
\[\begin{align*} r = & \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_i - \bar{x}}{s_x} \right) \left( \frac{y_i - \bar{y}}{s_y} \right) = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}} = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}} \sqrt{S_{yy}}}, \end{align*}\] em que \(S_{xy}= \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\), \(S_{xx} = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\) e \(S_{yy} = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2\).
Cálcule o coeficiente de correlação amostral para os seguintes dados:
’O artigo “A Cross-National Relationship Between Sugar Consumption and Major Depression?” (Depression and Anxiety 2002: 118–120) relatou os seguintes dados sobre \(x =\) consumo diário de açúcar (calorias per capita) e \(y =\) taxa anual de depressão majoritária (casos por 100 pessoas) para uma amostra de seis países.
Demonstre que \[\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_i - \bar{x}}{s_x} \right) \left( \frac{y_i - \bar{y}}{s_y} \right) = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}}.\]
Para o teste de hipóteses \(H_0: \rho = 0\) versus \(H_a: \rho \neq 0\), em que \(\rho\) é o coeficiente de correlação populacional, o teste de correlação de Pearson é baseado na estatística de teste \[ T = \frac{R \sqrt{n - 2}}{\sqrt{1 - R^2}} \] que segue uma distribuição \(t\) com \(n - 2\) graus de liberdade. A estatística \(R\) é o coeficiente de correlação amostral.
Para um teste de hipóteses sobre a correlação, as hipóteses nula e alternativa, e a região de rejeição são dadas a seguir:
| Hipótese Alternativa | Região de Rejeição para um Teste de Nível \(\alpha\) |
|---|---|
| \(H_a: \rho > 0\) | \(t \geq t_{\alpha, n-2}\) |
| \(H_a: \rho < 0\) | \(t \leq -t_{\alpha, n-2}\) |
| \(H_a: \rho \neq 0\) | \(t \geq t_{\alpha/2, n-2}\) ou \(t \leq -t_{\alpha/2, n-2}\) |
O Turbine Oil Oxidation Test (TOST) e o Rotating Bomb Oxidation Test (RBOT) são dois procedimentos diferentes para avaliar a estabilidade à oxidação de óleos de turbinas a vapor. O artigo “Dependence of Oxidation Stability of Steam Turbine Oil on Base Oil Composition” (J. Soc. Tribologists Lubricat. Engrs., Out. 1997: 19–24) apresentou as seguintes observações para \(x =\) tempo do teste TOST (horas) e \(y =\) tempo do teste RBOT (minutos) em 12 amostras de óleo.
| TOST | RBOT |
|---|---|
| 4200 | 370 |
| 3600 | 340 |
| 3750 | 375 |
| 3675 | 310 |
| 4050 | 350 |
| 2770 | 200 |
| 4870 | 400 |
| 4500 | 375 |
| 3450 | 285 |
| 2700 | 225 |
| 3750 | 345 |
| 3300 | 285 |
- Calcule e interprete o valor do coeficiente de correlação amostral (como fizeram os autores do artigo).
- Como o valor de \(r\) seria afetado se tivéssemos escolhido \(x =\) tempo RBOT e \(y =\) tempo TOST?
- Como o valor de \(r\) seria afetado se o tempo RBOT fosse expresso em horas?
- Realize um teste de hipóteses para decidir se os tempos dos testes RBOT e TOST estão linearmente relacionados.
- Quando \((X_1, Y_1), \dots, (X_n, Y_n)\) é uma amostra de uma distribuição normal bivariada, a variável aleatória \[ V = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1 + R}{1 - R} \right) \] segue aproximadamente uma distribuição normal com média e variância: \[ \mu_V = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1 + \rho}{1 - \rho} \right), \quad \sigma_V^2 = \frac{1}{n - 3}. \] A estatística de teste para \(H_0: \rho = \rho_0\) é dada por: \[ Z = \frac{V - \frac{1}{2} \ln [(1 + \rho_0) / (1 - \rho_0)]}{1 / \sqrt{n - 3}} \] As hipóteses nula e alternativa, e a região de rejeição são dadas a seguir:
| Hipótese Alternativa | Região de Rejeição para um Teste de Nível \(\alpha\) |
|---|---|
| \(H_a: \rho > \rho_0\) | \(z \geq z_{\alpha}\) |
| \(H_a: \rho < \rho_0\) | \(z \leq -z_{\alpha}\) |
| \(H_a: \rho \neq \rho_0\) | \(z \geq z_{\alpha/2}\) ou \(z \leq -z_{\alpha/2}\) |
Um intervalo de confiança de \(100(1 - \alpha)\%\) para \(\rho\) é dado por: \[ \left( \frac{e^{2c_1} - 1}{e^{2c_1} + 1}, \quad \frac{e^{2c_2} - 1}{e^{2c_2} + 1} \right), \] em que \(c_1\) e \(c_2\) são os extremos inferior e superior do intervalo na seguinte expressão: \[ v \pm z_{\alpha/2} \cdot \sigma_V = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1 + r}{1 - r} \right) \pm \frac{z_{\alpha/2}}{\sqrt{n - 3}}. \]
Usando os dados do exercício anterior, verifique a hipótese \(H_0: \rho = 0,70\) versus \(H_a: \rho \neq 0,70\) ao nível de significância de 5%. Calcule o intervalo de confiança de 95% para \(\rho\).
O hidrogênio é considerado um fator importante na porosidade de fundições de ligas de alumínio. O artigo “The Reduced Pressure Test as a Measuring Tool in the Evaluation of Porosity/Hydrogen Content in A1–7 Wt Pct Si-10 Vol Pct SiC(p) Metal Matrix Composite” (Metallurg. Trans. 1993: 1857–1868) apresenta os seguintes dados sobre \(x =\) conteúdo de hidrogênio e \(y =\) porosidade do gás para uma técnica específica de medição.
| x | y |
|---|---|
| 0.18 | 0.46 |
| 0.20 | 0.70 |
| 0.21 | 0.41 |
| 0.21 | 0.45 |
| 0.21 | 0.55 |
| 0.22 | 0.44 |
| 0.23 | 0.24 |
| 0.23 | 0.47 |
| 0.24 | 0.22 |
| 0.24 | 0.80 |
| 0.25 | 0.88 |
| 0.28 | 0.70 |
| 0.30 | 0.72 |
| 0.37 | 0.75 |
- Calcule e interprete o valor do coeficiente de correlação amostral.
- Realize um teste de hipóteses para decidir se o conteúdo de hidrogênio e a porosidade do gás estão linearmente relacionados.
- Calcule um intervalo de confiança de 95% para o coeficiente de correlação populacional.
- Seja \(x\) o número de horas de estudo por semana e \(y\) a média de notas nas provas. Suponha que temos uma amostra de pares \((x, y)\) para mulheres e outra para homens. Queremos testar a hipótese: \[ H_0: \rho_1 - \rho_2 = 0 \] contra a alternativa de que os coeficientes de correlação populacional são diferentes.
Utilize as propriedades da variável transformada \[ V = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1 + R}{1 - R} \right) \] para propor uma estatística de teste apropriada e a região de rejeição. Considere \(R_1\) e \(R_2\) os coeficientes de correlação amostral das duas amostras.
O artigo “Relational Bonds and Customer’s Trust and Commitment: A Study on the Moderating Effects of Web Site Usage” (Serv. Ind. J. 2003: 103–124) relatou que: \(n_1 = 261\), \(r_1 = 0.59\), \(n_2 = 557\) e \(r_2 = 0.50\). A primeira amostra consistia de usuários corporativos de websites, enquanto a segunda amostra consistia de não usuários. Aqui, \(r\) representa a correlação entre a avaliação da força dos laços econômicos e o desempenho.
Realize o teste de hipóteses \(H_0: \rho_1 - \rho_2 = 0\) para esses dados, conforme feito pelos autores do artigo citado.
- Considere uma série temporal, ou seja, uma sequência de observações \(X_1, X_2, \dots\) sobre alguma variável resposta (por exemplo, a concentração de um poluente, valor de uma ação, temperatura em uma região) ao longo do tempo. Suponha que os valores observados são \(x_1, x_2, \dots, x_n\) ao longo de \(n\) períodos de tempo. O coeficiente de autocorrelação de defasagem 1 (lag 1), que avalia a força da relação entre os valores da série separados por uma unidade de tempo, é definido como: \[r_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n-1} (x_i - \bar{x}) (x_{i+1} - \bar{x})}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}\] Os coeficientes de autocorrelação \(r_2, r_3, \dots\) para defasagens \(2, 3, \cdots\) são definidos de maneira análoga.
- Calcule o valor de \(r_1\) para os seguintes dados de temperatura coletados ao longo do tempo:
| Tempo | Temperatura |
|---|---|
| 1 | 47 |
| 2 | 54 |
| 3 | 53 |
| 4 | 50 |
| 5 | 46 |
| 6 | 46 |
| 7 | 47 |
| 8 | 50 |
| 9 | 51 |
| 10 | 50 |
| 11 | 46 |
| 12 | 52 |
| 13 | 50 |
- Faça um gráfico de dispersão da temperatura \(x_t\) contra o tempo \(t\) (gráfico de série temporal). Você observa algum padrão?
- Analogamente ao coeficiente de correlação populacional \(\rho\), seja \(\rho_i\) (para \(i = 1, 2, 3, \dots\)) o coeficiente de autocorrelação teórica para diferentes defasagens. Se todos esses \(\rho\)’s forem zero, não há relação linear entre as observações da série temporal em nenhuma defasagem. Nesse caso, se \(n\) for grande, cada \(R_i\) segue aproximadamente uma distribuição normal com média 0 e desvio padrão \(1/\sqrt{n}\), e diferentes \(R_i\) são quase independentes. Portanto, a hipótese nula \(H_0: \rho_i = 0\) pode ser rejeitada em um nível de significância de aproximadamente \(0.05\) se: \[r_i \geq \frac{2}{\sqrt{n}} \quad \text{ou} \quad r_i \leq -\frac{2}{\sqrt{n}}.\] Se \(n = 100\) e os coeficientes amostrais observados forem: \[r_1 = 0.16, \quad r_2 = -0.09, \quad r_3 = -0.15,\] há evidências de autocorrelação teórica nas três primeiras defasagens? Está claro o motivo de rejeitar \(H_0\) quando \(|r_i| > 2/\sqrt{n}\)? Dica: qual é o valor de \(z_{0.025}\)?
- Refaça todos os exercícios usando recursos computacionais (por exemplo, R, Python, Excel, etc.) para calcular os coeficientes de correlação, realizar os testes de hipóteses e construir os intervalos de confiança. Atenção: apenas agora (nesse exercício) é para usar recursos computacionais.