Análise de Regressão
Bacharelado em Estatística - UFMT
Lista de exercícios 2
Demonstre que a correlação amostral pode ser calculada por: \[ r = \frac{\sum_{i = 1}^n (X_i Y_i) - \frac{\sum_{i = 1}^n X_i \sum_{i = 1}^n Y_i}{n}}{\sqrt{\left( \sum_{i = 1}^n X_i^2 - \frac{(\sum_{i = 1}^n X_i)^2}{n} \right) \left( \sum_{i = 1}^n Y_i^2 - \frac{(\sum_{i = 1}^n Y_i)^2}{n} \right)}} \] onde \(n\) é o tamanho da amostra, \(\sum (X_i Y_i)\) é o somatório dos produtos de \(X\) e \(Y\), \(\sum X_i\) e \(\sum Y_i\) são os somatórios individuais de \(X\) e \(Y\), \(\sum X_i^2\) e \(\sum Y_i^2\) são os somatórios dos quadrados de \(X\) e \(Y\).
Demonstre que a correlação de Spearman pode ser derivada da fórmula da correlação amostral, substituindo os valores das variáveis \(X_i\) e \(Y_i\) pelos seus postos \(R(X_i)\) e \(R(Y_i)\). Mostre que isso leva à fórmula simplificada de Spearman: \[ r_s = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)} \] onde \(d_i = R(X_i) - R(Y_i)\) é a diferença entre os postos das observações e \(n\) é o tamanho da amostra.