Análise de Regressão

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Prof. Dr. Juliano Bortolini

Universidade Federal de Mato Grosso

Bacharelado em Estatística - UFMT

Lista de exercícios 3

  1. A Tabela 1 apresenta dados sobre o desempenho das 26 equipes da National Football League em 1976. Suspeita-se que o número de jardas conquistadas em corridas pelos adversários \(x_8\) tenha um efeito sobre o número de jogos vencidos por uma equipe \(y\).

  1. Ajuste um modelo de regressão linear simples relacionando o número de jogos vencidos \(y\) ao número de jardas conquistadas em corridas pelos adversários \(x_8\).

  2. Construa a tabela de análise de variância e teste a significância da regressão.

  3. Encontre um intervalo de confiança de 95% para o coeficiente angular.

  4. Qual porcentagem da variabilidade total em \(y\) é explicada por este modelo?

  5. Encontre um intervalo de confiança de \(95\%\) para o número médio de jogos vencidos se o número de jardas conquistadas em corridas pelos adversários for limitado a 2000 jardas.

Tabela 1: Desempenho das Equipes da National Football League de 1976

Equipe \(y\) \(x_1\) \(x_2\) \(x_3\) \(x_4\) \(x_5\) \(x_6\) \(x_7\) \(x_8\) \(x_9\)
Washington 10 2113 1985 38,9 64,7 +4 868 59,7 2205 1917
Minnesota 11 2003 2855 38,8 61,3 +3 615 55,0 2096 1575
New England 11 2957 1737 40,1 60,0 +14 914 65,6 1847 2175
Oakland 13 2285 2905 41,6 45,3 −4 957 61,4 1903 2476
Pittsburgh 10 2971 1666 39,2 53,8 +15 836 66,1 1457 1866
Baltimore 11 2309 2927 39,7 74,1 +8 786 61,0 1848 2339
Los Angeles 10 2528 2341 38,1 65,4 +12 754 66,1 1564 2092
Dallas 11 2147 2737 37,0 78,3 −1 761 58,0 1821 1909
Atlanta 4 1689 1414 42,1 47,6 −3 714 57,0 2577 2001
Buffalo 2 2566 1838 42,3 54,2 −1 797 58,9 2476 2254
Chicago 7 2363 1480 37,3 48,0 +19 984 67,5 1984 2217
Cincinnati 10 2109 2191 39,5 51,9 +6 700 57,2 1917 1758
Cleveland 9 2295 2229 37,4 53,6 −5 1037 57,8 1761 2032
Denver 9 1932 2204 35,1 71,4 +3 986 58,6 1790 2025
Detroit 6 2128 2438 38,8 58,3 +6 819 59,2 1901 1686
Green Bay 5 1722 1730 36,6 52,6 −19 791 54,4 2288 1835
Houston 5 1498 2072 35,3 59,3 −5 776 49,6 2072 1914
Kansas City 5 1873 2929 41,1 55,3 +10 789 54,3 2861 2496
Miami 6 2118 2268 38,2 69,6 +6 582 58,7 2411 2670
New Orleans 4 1775 1983 39,3 78,3 +7 901 51,7 2289 2202
New York Giants 3 1904 1792 39,7 38,1 −9 734 61,9 2203 1988
New York Jets 3 1929 1606 39,7 68,8 −21 627 52,7 2592 2324
Philadelphia 4 2080 1492 35,5 68,8 −8 722 57,8 2053 2550
St. Louis 10 2301 2835 35,3 74,1 +2 683 59,7 1979 2110
San Diego 6 2040 2416 38,7 50,0 0 576 54,9 2048 2628
San Francisco 8 2447 1638 39,9 57,1 −8 848 65,3 1786 1776
Seattle 2 1416 2649 37,4 56,3 −22 684 43,8 2876 2524
Tampa Bay 0 1503 1503 39,3 47,0 −9 875 53,5 2560 2241

Definições das variáveis:

  • \(y\): Jogos vencidos (por temporada de 14 jogos)
  • \(x_1\): Jardas conquistadas em corrida (temporada)
  • \(x_2\): Jardas de passe (temporada)
  • \(x_3\): Média de punt (jardas/punt)
  • \(x_4\): Percentual de acerto em field goal (field goals convertidos/field goals tentados na temporada)
  • \(x_5\): Diferença de turnovers (turnovers ganhos - turnovers perdidos)
  • \(x_6\): Jardas de penalidade (temporada)
  • \(x_7\): Percentual de corrida (corridas/jogadas totais)
  • \(x_8\): Jardas conquistadas em corrida pelos adversários (temporada)
  • \(x_9\): Jardas de passe dos adversários (temporada)
  1. Em 1º de março de 1984, o Wall Street Journal publicou uma pesquisa sobre anúncios televisivos conduzida pela Video Board Tests, Inc., uma empresa de testes de publicidade de Nova York, que entrevistou 4000 adultos. Esses indivíduos eram consumidores regulares de produtos e foram questionados sobre comerciais que haviam assistido para determinada categoria de produto na última semana.

Neste caso, a variável resposta é o número de milhões de impressões retidas por semana. A variável explicativa é o valor gasto pela empresa em publicidade. Os dados são apresentados a seguir:

Tabela. Gastos em publicidade e impressões retidas

Empresa Gasto (milhões) Impressões Retidas (milhões)
Miller Lite 50,1 32,1
Pepsi 74,1 99,6
Stroh’s 19,3 11,7
Federal Express 22,9 21,9
Burger King 82,4 60,8
Coca-Cola 40,1 78,6
McDonald’s 185,9 92,4
MCI 26,9 50,7
Diet Cola 20,4 21,4
Ford 166,2 40,1
Levi’s 27,0 40,8
Bud Lite 45,6 10,4
ATT Bell 154,9 88,9
Calvin Klein 5,0 12,0
Wendy’s 49,7 29,2
Polaroid 26,9 38,0
Shasta 5,7 10,0
Meow Mix 7,6 12,3
Oscar Meyer 9,2 23,4
Crest 32,4 71,1
Kibbles N Bits 6,1 4,4

  1. Ajuste um modelo de regressão linear simples para esses dados.

  2. Existe uma relação significativa entre o valor gasto por uma empresa em publicidade e as impressões retidas? Justifique sua resposta estatisticamente.

  1. Considere o modelo de regressão linear simples \(y = \beta_0 + \beta_1 x + \varepsilon\), com \(E(\varepsilon) = 0\), \(Var(\varepsilon) = \sigma^2\), e os erros \(\varepsilon\) são não correlacionados.
  1. Mostre que:

\[\text{Cov} \left( \hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1 \right) = -\bar{x} \sigma^2/S_{xx}.\]

  1. Mostre que:

\[\text{Cov} \left( \bar{y}, \hat{\beta}_1 \right) = 0.\]

  1. Mostre que:

\[E(MS_R) = \sigma^2 + \beta_1^2 S_{xx}.\]

  1. Mostre que:

\[E(MS_{Res}) = \sigma^2.\]

  1. Considere um conjunto de dados com \(n\) observações, representado por pares ordenados \((x_i, y_i)\), \(i = 1, 2, \cdots, n\). As médias amostrais de \(x\) e \(y\) são, respectivamente, \(\bar{x}\) e \(\bar{y}\).

O coeficiente angular \(\beta_1\) da reta de regressão linear simples de \(Y\) sobre \(X\) é dado por:

\[b_1 = \frac{S_{xy}}{S_{xx}},\]

em que: \(S_{xy} = \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\), \(S_{xx} = \sum (x_i - \bar{x})^2\) e \(S_{yy} = \sum (y_i - \bar{y})^2\).

O coeficiente de correlação de Pearson é: \[r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}}\]

Os desvios padrão amostrais de \(X\) e \(Y\) são: \[s_x = \sqrt{\frac{S_{xx}}{n - 1}}, \quad \text{e} \quad s_y = \sqrt{\frac{S_{yy}}{n - 1}}.\]

Demonstre que:

  1. \[\beta_1 = r \sqrt{\frac{S_{yy}}{S_{xx}}}\]

  2. \[\beta_1 = r \frac{s_y}{s_x}\]

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