Análise de Regressão

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Prof. Dr. Juliano Bortolini

Universidade Federal de Mato Grosso

Bacharelado em Estatística - UFMT

Lista de exercícios 3

’O artigo “A Cross-National Relationship Between Sugar Consumption and Major Depression?” (Depression and Anxiety 2002: 118–120) relatou os seguintes dados sobre \(x =\) consumo diário de açúcar (calorias per capita) e \(y =\) taxa anual de depressão majoritária (casos por 100 pessoas) para uma amostra de seis países.

Consumo diário de açúcar e taxa anual de depressão por país
Country Sugar.consumption Depression.rate
USA 300 3.0
Canada 390 5.2
France 350 4.4
Germany 375 5.0
New Zealand 480 5.7
South Korea 150 2.3
  1. Calcule e interprete o valor do coeficiente de correlação amostral.
  2. Estime o modelo de regressão linear simples relacionando a taxa anual de depressão e quantidade de açúcar consumida. Interprete o coeficiente angular.
  3. Realize um teste de hipóteses para decidir se o consumo diário de açúcar e a taxa anual de depressão estão linearmente relacionados. Justifique sua resposta estatisticamente.
  4. Calcule um intervalo de confiança de 95% para a taxa anual de depressão média para um consumo diário de açúcar de 350 calorias per capita. Interprete o resultado.
  5. Calcule um intervalo de predição de 95% para a taxa anual de depressão de um país com consumo diário de açúcar de 400 calorias per capita. Interprete o resultado.
  6. Calcule o coeficiente de determinação e interprete seu valor.

  1. O Turbine Oil Oxidation Test (TOST) e o Rotating Bomb Oxidation Test (RBOT) são dois procedimentos diferentes para avaliar a estabilidade à oxidação de óleos de turbinas a vapor. O artigo “Dependence of Oxidation Stability of Steam Turbine Oil on Base Oil Composition” (J. Soc. Tribologists Lubricat. Engrs., Out. 1997: 19–24) apresentou as seguintes observações para \(x =\) tempo do teste TOST (horas) e \(y =\) tempo do teste RBOT (minutos) em 12 amostras de óleo.

Resultados dos testes TOST e RBOT para 12 amostras de óleo
TOST RBOT
4200 370
3600 340
3750 375
3675 310
4050 350
2770 200
4870 400
4500 375
3450 285
2700 225
3750 345
3300 285
  1. Calcule e interprete o valor do coeficiente de correlação amostral.
  2. Estime o modelo de regressão linear simples relacionando o tempo do teste RBOT ao tempo do teste TOST. Interprete o coeficiente angular.
  3. Realize um teste de hipóteses para decidir se o tempo do teste TOST e o tempo do teste RBOT estão linearmente relacionados. Justifique sua resposta estatisticamente.
  4. Calcule um intervalo de confiança de 95% para o coeficiente angular e interprete o resultado.
  5. Calcule um intervalo de confiança de 95% para o tempo do teste RBOT médio para um tempo do teste TOST de 3750 horas. Interprete o resultado.
  6. Calcule um intervalo de predição de 95% para o tempo do teste RBOT de uma amostra de óleo com tempo do teste TOST de 4000 horas. Interprete o resultado.
  7. Calcule o coeficiente de determinação e interprete seu valor.

  1. O hidrogênio é considerado um fator importante na porosidade de fundições de ligas de alumínio. O artigo “The Reduced Pressure Test as a Measuring Tool in the Evaluation of Porosity/Hydrogen Content in A1–7 Wt Pct Si-10 Vol Pct SiC(p) Metal Matrix Composite” (Metallurg. Trans. 1993: 1857–1868) apresenta os seguintes dados sobre \(x =\) conteúdo de hidrogênio e \(y =\) porosidade do gás para uma técnica específica de medição.

Dados sobre conteúdo de hidrogênio e porosidade do gás
x y
0.18 0.46
0.20 0.70
0.21 0.41
0.21 0.45
0.21 0.55
0.22 0.44
0.23 0.24
0.23 0.47
0.24 0.22
0.24 0.80
0.25 0.88
0.28 0.70
0.30 0.72
0.37 0.75
  1. Ajuste um modelo de regressão linear simples relacionando a porosidade do gás \(y\) ao conteúdo de hidrogênio \(x\).
  2. Teste a hipótese de que o conteúdo de hidrogênio tem um efeito significativo sobre a porosidade do gás. Justifique sua resposta estatisticamente.
  1. A Tabela 1 apresenta dados sobre o desempenho das 26 equipes da National Football League em 1976. Suspeita-se que o número de jardas conquistadas em corridas pelos adversários \(x_8\) tenha um efeito sobre o número de jogos vencidos por uma equipe \(y\).

  1. Ajuste um modelo de regressão linear simples relacionando o número de jogos vencidos \(y\) ao número de jardas conquistadas em corridas pelos adversários \(x_8\).

  2. Teste a hipótese de que o número de jardas conquistadas em corridas pelos adversários tem um efeito significativo sobre o número de jogos vencidos. Justifique sua resposta estatisticamente.

  3. Encontre um intervalo de confiança de 95% para o coeficiente angular.

  4. Construa a tabela de análise de variância e teste a significância da regressão.

  5. Qual porcentagem da variabilidade total em \(y\) é explicada por este modelo?

  6. Encontre um intervalo de confiança de \(95\%\) para o número médio de jogos vencidos se o número de jardas conquistadas em corridas pelos adversários for limitado a 2000 jardas.

  7. Encontre uma estimativa pontual para o número de jogos vencidos quando \(x_8 = 1800\).

  8. Encontre um intervalo de predição de \(90\%\) para o número de jogos vencidos.

Tabela 1: Desempenho das Equipes da National Football League de 1976

Equipe \(y\) \(x_1\) \(x_2\) \(x_3\) \(x_4\) \(x_5\) \(x_6\) \(x_7\) \(x_8\) \(x_9\)
Washington 10 2113 1985 38,9 64,7 +4 868 59,7 2205 1917
Minnesota 11 2003 2855 38,8 61,3 +3 615 55,0 2096 1575
New England 11 2957 1737 40,1 60,0 +14 914 65,6 1847 2175
Oakland 13 2285 2905 41,6 45,3 −4 957 61,4 1903 2476
Pittsburgh 10 2971 1666 39,2 53,8 +15 836 66,1 1457 1866
Baltimore 11 2309 2927 39,7 74,1 +8 786 61,0 1848 2339
Los Angeles 10 2528 2341 38,1 65,4 +12 754 66,1 1564 2092
Dallas 11 2147 2737 37,0 78,3 −1 761 58,0 1821 1909
Atlanta 4 1689 1414 42,1 47,6 −3 714 57,0 2577 2001
Buffalo 2 2566 1838 42,3 54,2 −1 797 58,9 2476 2254
Chicago 7 2363 1480 37,3 48,0 +19 984 67,5 1984 2217
Cincinnati 10 2109 2191 39,5 51,9 +6 700 57,2 1917 1758
Cleveland 9 2295 2229 37,4 53,6 −5 1037 57,8 1761 2032
Denver 9 1932 2204 35,1 71,4 +3 986 58,6 1790 2025
Detroit 6 2128 2438 38,8 58,3 +6 819 59,2 1901 1686
Green Bay 5 1722 1730 36,6 52,6 −19 791 54,4 2288 1835
Houston 5 1498 2072 35,3 59,3 −5 776 49,6 2072 1914
Kansas City 5 1873 2929 41,1 55,3 +10 789 54,3 2861 2496
Miami 6 2118 2268 38,2 69,6 +6 582 58,7 2411 2670
New Orleans 4 1775 1983 39,3 78,3 +7 901 51,7 2289 2202
New York Giants 3 1904 1792 39,7 38,1 −9 734 61,9 2203 1988
New York Jets 3 1929 1606 39,7 68,8 −21 627 52,7 2592 2324
Philadelphia 4 2080 1492 35,5 68,8 −8 722 57,8 2053 2550
St. Louis 10 2301 2835 35,3 74,1 +2 683 59,7 1979 2110
San Diego 6 2040 2416 38,7 50,0 0 576 54,9 2048 2628
San Francisco 8 2447 1638 39,9 57,1 −8 848 65,3 1786 1776
Seattle 2 1416 2649 37,4 56,3 −22 684 43,8 2876 2524
Tampa Bay 0 1503 1503 39,3 47,0 −9 875 53,5 2560 2241

Definições das variáveis:

  • \(y\): Jogos vencidos (por temporada de 14 jogos)
  • \(x_1\): Jardas conquistadas em corrida (temporada)
  • \(x_2\): Jardas de passe (temporada)
  • \(x_3\): Média de punt (jardas/punt)
  • \(x_4\): Percentual de acerto em field goal (field goals convertidos/field goals tentados na temporada)
  • \(x_5\): Diferença de turnovers (turnovers ganhos - turnovers perdidos)
  • \(x_6\): Jardas de penalidade (temporada)
  • \(x_7\): Percentual de corrida (corridas/jogadas totais)
  • \(x_8\): Jardas conquistadas em corrida pelos adversários (temporada)
  • \(x_9\): Jardas de passe dos adversários (temporada)
# para carregar os dados no R:
# install.packages("MPV")
library(MPV)
data("table.b1")
head(table.b1)
   y   x1   x2   x3   x4 x5  x6   x7   x8   x9
1 10 2113 1985 38.9 64.7  4 868 59.7 2205 1917
2 11 2003 2855 38.8 61.3  3 615 55.0 2096 1575
3 11 2957 1737 40.1 60.0 14 914 65.6 1847 2175
4 13 2285 2905 41.6 45.3 -4 957 61.4 1903 2476
5 10 2971 1666 39.2 53.8 15 836 66.1 1457 1866
6 11 2309 2927 39.7 74.1  8 786 61.0 1848 2339
  1. Em 1º de março de 1984, o Wall Street Journal publicou uma pesquisa sobre anúncios televisivos conduzida pela Video Board Tests, Inc., uma empresa de testes de publicidade de Nova York, que entrevistou 4000 adultos. Esses indivíduos eram consumidores regulares de produtos e foram questionados sobre comerciais que haviam assistido para determinada categoria de produto na última semana.

Neste caso, a variável resposta é o número de milhões de impressões retidas por semana. A variável explicativa é o valor gasto pela empresa em publicidade. Os dados são apresentados a seguir:

Tabela. Gastos em publicidade e impressões retidas

Empresa Gasto (milhões) Impressões Retidas (milhões)
Miller Lite 50,1 32,1
Pepsi 74,1 99,6
Stroh’s 19,3 11,7
Federal Express 22,9 21,9
Burger King 82,4 60,8
Coca-Cola 40,1 78,6
McDonald’s 185,9 92,4
MCI 26,9 50,7
Diet Cola 20,4 21,4
Ford 166,2 40,1
Levi’s 27,0 40,8
Bud Lite 45,6 10,4
ATT Bell 154,9 88,9
Calvin Klein 5,0 12,0
Wendy’s 49,7 29,2
Polaroid 26,9 38,0
Shasta 5,7 10,0
Meow Mix 7,6 12,3
Oscar Meyer 9,2 23,4
Crest 32,4 71,1
Kibbles N Bits 6,1 4,4 
# para carregar os dados no R:
# install.packages("MPV")
library(MPV)
data("p2.18")
head(p2.18)
             Firm Amount.Spent Returned.Impressions
1     Miller Lite         50.1                 32.1
2           Pepsi         74.1                 99.6
3         Stroh's         19.3                 11.7
4 Federal Express         22.9                 21.9
5     Burger King         82.4                 60.8
6       Coca-Cola         40.1                 78.6

  1. Ajuste um modelo de regressão linear simples para esses dados.

  2. Existe uma relação significativa entre o valor gasto por uma empresa em publicidade e as impressões retidas? Justifique sua resposta estatisticamente.

  3. Calcule um intervalo de confiança de 95% para o coeficiente angular.

  4. Teste as hipóteses \(H_0: \beta_1 = 0,5\) contra \(H_1: \beta_1 \neq 0,5\). Justifique sua resposta estatisticamente.

  5. Qual é a impressão retida média para uma empresa que gasta 50 milhões em publicidade? E para uma empresa que gasta 20 milhões?

  1. Forneça os intervalos de confiança e predição de \(95\%\) para o número de impressões retidas da empresa MCI.

  2. Forneça os intervalos de confiança e predição de \(95\%\) para o número de impressões retidas quando houver um gasto de 50 milhões.

  1. Por muitos anos, o pó de borracha tem sido utilizado no cimento asfáltico para melhorar o desempenho. O artigo “Experimental Study of Recycled Rubber-Filled High-Strength Concrete” (Mag. Concrete Res. 2009: 549–556) incluiu uma regressão de \(y\) = resistência axial (MPa) sobre \(x\) = resistência cúbica (MPa) com base nos seguintes dados amostrais:

Tabela. Resistência Cúbica (\(x\)) e Resistência Axial (\(y\)) (MPa)

\(x\) 112,3 97,0 92,7 86,0 102,0
\(y\) 75,0 71,0 57,7 48,7 74,3
\(x\) 99,2 95,8 103,5 89,0 86,7
\(y\) 73,3 68,0 59,3 57,8 48,5

  1. Ajuste um modelo de regressão linear simples relacionando a resistência axial \(y\) à resistência cúbica \(x\).

  2. Teste a hipótese de que a resistência cúbica tem um efeito significativo sobre a resistência axial. Justifique sua resposta estatisticamente.

  3. Calcule um intervalo de confiança de 95% para o coeficiente angular e interprete o resultado.

  4. Calcule um intervalo de confiança de 95% para o intercepto e interprete o resultado.

  5. Calcule o coeficiente de determinação e interprete seu valor.

  1. (Cinestose no Transporte Público Rodoviário) Como a aceleração lateral — forças laterais experimentadas em curvas que estão amplamente sob o controle do motorista — afeta a náusea percebida pelos passageiros de ônibus? O artigo “Motion Sickness in Public Road Transport: The Effect of Driver, Route, and Vehicle” (Ergonomics 1999: 1646–1664) apresentou dados sobre \(x\) = dose de movimento cinetósico (calculada de acordo com um padrão britânico para avaliar movimento semelhante no mar) e \(y\) = náusea relatada (%). Os valores estatísticos relevantes são:

\[ n = 17, \quad \sum x_i = 222,1, \quad \sum y_i = 193,0, \]

\[ S_{xx} = 155,02, \quad S_{yy} = 783,88, \quad S_{xy} = 238,11 \]

Os valores de dose na amostra variaram de 6,0 a 17,6.

  1. Supondo que o modelo de regressão linear simples seja válido para relacionar essas duas variáveis (isso é apoiado pelos dados brutos), calcule e interprete uma estimativa do coeficiente angular que forneça informações sobre a precisão e confiabilidade da estimativa.

  2. Parece haver uma relação linear útil entre essas duas variáveis?

  3. Seria sensato usar o modelo de regressão linear simples como base para prever a porcentagem de náusea quando a dose for igual a 5,0? Explique seu raciocínio.

  4. Calcule o QMRes.

  5. Calcule o intervalo de confiança de 95% para o coeficiente angular e interprete o resultado.

  6. Calcule o intervalo de confiança de 95% para o número médio de náusea quando a dose for igual a 10,0. Interprete o resultado.

  7. Calcule o intervalo de predição de 95% para a porcentagem de náusea de um passageiro quando a dose for igual a 10,0. Interprete o resultado.

  8. Calcule o coeficiente de determinação e interprete seu valor.

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